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PDF:必考知識點,CFA一級數量分析-常見概率分布-下

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“人的一切痛苦,本質上都是對自己無能的憤怒。”

文:藍兔子讀難NOTES

圖:配圖來源于網絡

編碼:0008

因為篇幅的限制,我們上一篇文章只說了一半,在這一篇文章中,我們會繼續進行常見的概率分布內容的分享。可以說,在常見概率分布這一大章內容里面,最重要的內容就在接下來要說的里面,一個是正態分布(normaldistribution),另一個是t分布(student‘st-distribution),其也是掌握后面章節內容的關鍵知識點。

連續概率分布與正態分布

具體連續概率分布的定義我們在上一篇文章中已經進行過解釋,這里就不再贅述。我們直接來看一個連續均勻分布(continuousuniformdistribution)的PDF圖形:

friend.tech某用戶花費180.8 ETH將一\"Keys\"價格刷至排行榜第三:9月9日消息,friend.tech用戶ZksFrontDesk近5小時內花費180.8枚ETH(約29.4萬美元)購入201枚 SyncPerp Keys,使后者Keys價格暫列平臺排行榜第三名。

SyncPerp Keys目前僅有兩名持有者,價格暫報2.601ETH,僅次于排名第一平臺創始人Racer的4.795 ETH與排名第二加密KOL Hsaka的3.306 ETH。[2023/9/9 13:27:58]

因為每一個可能的結果發生的概率是相等的,所以其PDF曲線為一條水平線。這里需要強調說明一下,由于連續隨機變量可以有無數多個可能,因此針對某一確定的結果,我們近似的認為其發生的概率為0,因此在分析連續隨機變量相關問題時,我們應該取區間分析,而不能對點進行分析。

又因為任何一個隨機事件,其所有可能的結果的概率和為1,所以上圖中,該條直線的y軸坐標為1/(b-a)。當我們對區間(a,b)中任何一段子區間進行分析時,可以利用簡單的幾何原理算出相應的面積(概率)。

接下來,就是重中之重的正態分布,正態分布幾乎存在于我們生活的方方面面,無論是班上同學的考試成績,還是班上同學的身高體重,基本上都逃離不了正態分布的“上帝詛咒”,而且同一個目標對象的數量(樣本量)越是多,越是重復的厲害,那么就越正態。看看下面這兩幅圖,看看你是否能找到小正態的影子。

加密交易所Bitstamp獲得FCA批準在英國運營:6月13日消息,歐洲加密貨幣交易所 Bitstamp UK Limited 已被金融行為監管局(FCA)批準在英國運營。根據 FCA 的加密貨幣注冊更新并由監管機構向Financial News 證實。它是繼經紀商 Interactive Investors(英國)之后在兩天內獲得批準的第二家公司。在此之前,FCA 自去年 12 月以來就沒有允許過任何加密公司。[2023/6/14 21:34:48]

請別告訴我這是人為的,即便是人為的,為何偏偏就是這個樣子。那到底是哪個樣子呢,請看下圖:

正態分布雖然如上帝的“祝福”般占據了我們生活的方方面面,但是我們只需要把它當作一個工具即可,一把扳手,我們不需要知道它是怎么生產出來的,我們只需要了解他的一些性質即可:

比特幣白皮書將在F1賽事中展示:金色財經報道,加密交易所Kraken本周早些時候宣布與Williams Racing合作成為其首個官方加密貨幣和Web3合作伙伴,計劃將九頁比特幣白皮書的開頭摘要印在Williams賽車上,該賽車將于本周末參加澳大利亞大獎賽(Australian Grand Prix)。

Kraken表示,它希望通過這項每年在20個國家舉行比賽、吸引16億觀眾的運動中提升加密生態系統的知名度。Kraken還計劃讓部分Kraken NFT持有者有機會看到他們的數字收藏品展示在Williams賽車尾部。[2023/4/1 13:38:38]

其PDF完全由均值和方差刻畫,通常記為N(均值,方差);其圖形對稱,偏度為0,越中間概率越大,越兩端概率越小;如之前內容所講,正態分布的峰度為3,超額峰度為0;服從正態分布的隨機變量線性組合后還符合正態分布;標準正態分布概率區間幾個特殊值經常用要記住,如下圖(90%對應1.65個標準差,雖然圖中沒標,但也很重要)。

接下來的內容是標準化的正態分布。如前文所言,正態分布表示為N(均值,方差),盡管正態分布存在于我們生活的方方面面,但是這方方面面的正態分布卻也各不相同,且由于正態分布的PDF比較復雜,我們很難通過表達式去計算出其某區間的概率,更不可能給每一個參數不同的正態分布都列一個表格去查。

數據:本周NFT銷售額下降5.4%至1.93億美元:金色財經報道,與上周相比,本周NFT銷售額下降了5.44%,19個不同區塊鏈的銷售額為1.9308億美元。Cryptoslam.io統計顯示,30天銷售額普遍下降,總銷售額為9.1254億美元,比上月下降超過29%。本周NFT銷售額排名前五的區塊鏈是以太坊(1.07億美元)、Solana(2600萬美元)、Polygon(600萬美元)、Immutable X(530萬美元)和Cardano(316萬美元)。[2023/3/27 13:27:52]

好在前輩們也糾結過這個問題,并且找到了解決方案:他們把標準正態分布的結果列成一張表,并提供一種把非標準正態分布轉換為標準正態分布的辦法,再拿這個分布去查表。

標準正態分布表示為N(0,1),其中0為均值,1為方差,任何非標準正態分布都可以進行轉換,轉換后即可查標準正態分布的表得到相應的值。為了便于理解,舉個例子:

已知某公司股票的某參數符合正態分布,其均值為10,方差為9,即服從N(10,9),問隨機抽取該股票參數中的某個值,該值小于5的概率,即F(5)。

雖然其服從正態分布,但不是標準正態分布,所以沒法直接查表,需要先進行轉換,轉換的方法就是:

(X-μ)/σ====即=====>>(5-10)/3

ETH 2.0總質押數已超1632.78萬:金色財經報道,數據顯示,ETH 2.0總質押數已超1632.78萬,為16327831個,按當前市場價格,價值約260.10億美元。此外,目前ETH 2.0質押總地址數已超52.22萬,為522162個[2023/1/30 11:37:06]

即查標準正態分布的F((5-10)/3)即可。

查表要注意,1、查表會不會,不會的同學看看書,這里就不解釋了;2、查得的是累積概率,可能需要再次進行換算。

標準正態分布也被稱為z分布或者u分布。

虧空風險(shortfallrisk):指資產的收益低于最低可接受水平的概率,虧空風險是一個概率。這個最低可接受水平(shortfalllevel)用Rl表示。

羅伊的第一安全比例(Roy'ssafety-firstratio|SFration):

SFRatio=/標準差

從其公式上來看,第一安全比例代表的是每份超額風險所獲得的收益,這里的超額指的是投資收益相對于最低要求收益的超額。注意與夏普比率區分,夏普比率的超額是指投資收益相對于無風險收益超額。

同夏普比率一樣,每單位風險獲得的收益肯定是越多越好,所以怎么根據SFratio選擇組合你懂的。

對數正態分布與t分布

接下來是另一個非常重要的分布,學生t分布(studentt-distribution),不要覺得名字奇怪,之所以叫這個名字,只是因為發表的人給自己取了個這么樣的筆名而已。就像正態分布也叫高斯分布一樣,只是名字而已。

不過說到正態分布和t分布,他們不僅僅是名字都是發表者用的名字而已,他們還有很多的相似之處。怎么個相似法呢,先看圖:

我們之前說過,正態分布的樣本數量越多,就越正態分布。以考試成績為例,一個班50個同學的數據肯定沒有全校同學的數據那么“正態”。但是如果反過來,班上只有40個同學,或者只有10個同學,他們的成績還符合正態分布嗎?不難想象,當我們數據量越小時,越容易受到極端值的影響,當數據量太少時,就會和正態分布出現偏差。

我們有一位偉大的同學,叫做“Student”,同我們一樣,他也發現了這個現象,但是和我們不一樣的是,人家找到了小樣本的解決方案,后來被命名成t分布。t分布具有如下性質:

圖形如上圖所示,當自由度增大時,圖形逐步接近于正態分布;圖形完全由自由度(degreesoffreedom|df)刻畫;相比于正態分布,t分布圖形有低峰肥尾巴特質,因此峰度>3;這里說明一下,峰態雖然叫做“峰”態,但他看的不是峰有多高,而是尾巴有多肥。

下面是對數正態分布(lognormaldistribution),雖然正態分布占據了我們生活的方方面面,但是他卻有一個問題:他的取值范圍在正負無窮的范圍內,而我們的資產,或者說股票的價格,不可能為負,所以導致其不能用于衡量資產的價格。因此,我們引入了對數正態分布(具體的過程比較有意思,但是這里不說),如下圖:

其有如下特點:

非負性,符合資產股票的價格定義域,偏度為正,所以一般用正態分布來衡量資產的風險,而用對數正態分布來衡量資產的價格。

最后還有一個知識點,叫做多元分布(multivariatedistribution),這里大家不用詳細了解,只知道多元分布就像多元方程一樣,里面有多個元素。考試一般問你需要幾個參數才能刻畫出這個多元分布,只要記住以下內容就OK:

每一個元需要兩個參數來刻畫:一個均值,一個方差;每兩個元之間需要一個相關系數來刻畫,nC2;所以,假設有n元,需要的參數就是2*n+nC2,掏出你的計算器吧!

模擬

模擬就是通過事前對事情進行彩排,來預測和發現事情的發展方向,比如去面試前,你會進行一個模擬面試,考慮會有哪些問題,如何應對。

模擬有兩種,以面試為例,很多人都有面試過,自己可能也面試過多次,面試的常見套路,問題基本上就那些,你模擬的時候,你就能知道大概會問哪些問題,雖然每次面試不一樣,但是大差不差,你可以假設一種情景來分析,如果問這個問題怎么樣,如果問那個問題怎么樣。這就是蒙特卡羅模擬(MonteCarlosimulation),我們也稱之為情景模擬,對解決如果咋的咋的(whatif)問題很有效。實際上,你就需要先假設這么一個如果(通常假設其符合某一分布),但是其缺陷是,你一旦假設都錯了,那你就全盤皆輸。而且這種計算費電腦。

還有一個叫做歷史模擬(historicalsimulation),就是根據歷史數據來模擬,比如搜集某個地方某一天過去100年的天氣情況來預測以后的天氣情況,由于其依賴歷史數據,所以不能進行情景分析,如果(whatif)氣象局搞了場人工降雨呢?而且時代在進步,萬事萬物都是在變,沒有什么是一成不變的,所以歷史模擬也存在問題。還有就是,你選的這段歷史數據萬一碰巧選到特殊的一段了,比如模擬經濟發展,你剛好選到二戰那一段呢?所以,我們通常進行樣本外測試(outofsampletest),把數據拿到樣本外的歷史數據去試試,排除數據選擇問題(是那一段時間獨有的)。

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